\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

\usepackage{ctex} % 中文支持
\usepackage[top=2.5cm, bottom=2.5cm, left=2.5cm, right=2.5cm]{geometry} % 页边距
\usepackage{amsmath, amssymb} % 数学公式与符号
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pythonhighlight}
\usepackage{url} 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{titling}
\setlength{\droptitle}{-2cm} % 标题上移

%%文档的题目、作者与日期
\author{五六七}
\title{常微分方程各章基本概念}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\maketitle

\begin{enumerate}\itemsep1em

    \item \textbf{一、基本概念}
    \begin{itemize}
        \item 微分方程：含有未知函数及其导数的方程。
        \item 常微分方程（ODE）与偏微分方程（PDE）的区别。
        \item 方程的阶：方程中出现的最高阶导数的阶数。
        \item 解：满足微分方程的函数（显式或隐式）。
        \item 通解与特解：通解含任意常数，特解由初值确定。
        \item 初值问题（Cauchy问题）：微分方程 + 初始条件。
        \item 积分曲线：解函数在坐标系中的图像。
        \item 方向场（斜率场）：在平面上画出各点处切线斜率的图示，用于直观理解解的行为。
        \item 建模思想：从实际问题（如人口、冷却、运动）建立微分方程。
    \end{itemize}

    \item \textbf{二、初等积分法}
    \begin{itemize}
        \item 可分离变量方程：$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$，通过分离变量积分求解。
        \item 齐次方程：$\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$，通过代换 $u = y/x$ 化为可分离变量。
        \item 一阶线性微分方程：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$，使用积分因子法或常数变易法求解。
        \item 恰当微分方程（全微分方程）：$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 满足 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$。
        \item 积分因子：将非恰当方程化为恰当方程的乘子 $\mu(x,y)$。
        \item 贝努利方程：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$，通过代换 $z = y^{1-n}$ 化为线性方程。
    \end{itemize}

    \item \textbf{三、存在唯一性}
    \begin{itemize}
        \item 局部存在唯一性定理（Cauchy-Lipschitz / Picard-Lindelöf）：若 $f(x,y)$ 连续且关于 $y$ 满足Lipschitz条件，则初值问题在局部存在唯一解。
        \item Lipschitz条件：$|f(x,y_1) - f(x,y_2)| \leq L |y_1 - y_2|$。
        \item Picard迭代法：构造逼近解序列 $\phi_{n+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,\phi_n(t))dt$。
        \item Peano存在性定理：若 $f(x,y)$ 连续，则解存在（不一定唯一）。
        \item 解的延拓定理：局部解可向最大存在区间延拓。
        \item 解对初值的连续依赖性：初值的小变化导致解的小变化。
        \item 解对初值和参数的可微性。
    \end{itemize}

    \item \textbf{四、奇解}
    \begin{itemize}
        \item 奇解：不能由通解通过取特定常数值得到的解。
        \item 包络：奇解通常是通解族的包络线。
        \item $c$-判别曲线：由通解 $F(x,y,c)=0$ 与 $\frac{\partial F}{\partial c}=0$ 消去 $c$ 得到的曲线。
        \item $p$-判别曲线：对一阶方程 $F(x,y,y')=0$，由 $F(x,y,p)=0$ 与 $\frac{\partial F}{\partial p}=0$ 消去 $p$ 得到。
        \item 奇解的验证：需验证是否满足原方程且不包含在通解中。
        \item Clairaut方程：$y = x y' + f(y')$，其通解为直线族，奇解为包络（参数消去结果）。
    \end{itemize}

    \item \textbf{五、高阶微分方程}
    \begin{itemize}
        \item $n$阶微分方程的一般形式：$F(x, y, y', \dots, y^{(n)}) = 0$。
        \item 降阶法：通过代换将高阶方程化为低阶或方程组。
        \item 不显含 $y$ 或 $x$ 的方程：如 $y'' = f(x,y')$ 或 $y'' = f(y,y')$。
        \item 线性微分方程：$y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_0(x)y = f(x)$。
        \item 齐次与非齐次线性方程。
        \item 线性相关与线性无关函数。
        \item Wronsky行列式：判断函数组线性无关性的工具。
        \item 常系数线性方程：特征方程法求解齐次方程；待定系数法与常数变易法求特解。
        \item Euler方程：$x^n y^{(n)} + \cdots + a_0 y = 0$，通过代换 $x = e^t$ 化为常系数方程。
    \end{itemize}

    \item \textbf{六、线性微分方程组}
    \begin{itemize}
        \item 一阶线性方程组：$\mathbf{y}' = A(x)\mathbf{y} + \mathbf{f}(x)$。
        \item 向量形式与矩阵表示。
        \item 齐次系统解的叠加原理：解空间是 $n$ 维线性空间。
        \item 基本解组与基本解矩阵。
        \item Wronsky行列式与解的线性无关性。
        \item 非齐次系统通解结构：齐次通解 + 一个特解。
        \item 常系数线性系统：$\mathbf{y}' = A\mathbf{y}$，通过特征值与特征向量求解。
        \item 矩阵指数 $e^{At}$：齐次系统的基解矩阵。
        \item 非齐次系统的常数变易法：$\mathbf{y}_p = \Phi(t) \int \Phi^{-1}(t) \mathbf{f}(t) dt$。
    \end{itemize}

    \item \textbf{七、幂级数解法}
    \begin{itemize}
        \item 幂级数解法思想：在奇点之外，解可表示为幂级数。
        \item 解析函数与幂级数展开。
        \item 在常点邻域的幂级数解：设 $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$，代入方程递推求系数。
        \item 递推关系：由方程导出系数 $a_n$ 的递推公式。
        \item 收敛半径：解的幂级数表示的收敛范围。
        \item 正则奇点与Frobenius方法（简介）：用于处理某些奇点附近的解。
        \item Legendre方程与Bessel方程（举例）。
    \end{itemize}

    \item \textbf{八、定性理论与分支理论}
    \begin{itemize}
        \item 相平面与相图：用向量场和轨线描述系统行为。
        \item 自治系统：$\mathbf{y}' = \mathbf{f}(\mathbf{y})$，右端不显含时间 $t$。
        \item 平衡点（奇点）：$\mathbf{f}(\mathbf{y}) = 0$ 的点。
        \item 稳定性：Lyapunov稳定、渐近稳定、不稳定。
        \item 线性化方法：在平衡点附近用Jacobi矩阵 $J = D\mathbf{f}$ 近似。
        \item 分类：节点、鞍点、焦点、中心（基于特征值）。
        \item 极限环：孤立的闭轨，表示自激振荡（如范德波尔振子）。
        \item Liapunov函数方法：构造正定函数判断稳定性。
        \item 分支（Bifurcation）：参数变化导致系统定性行为改变（如Hopf分支）。
    \end{itemize}

    \item \textbf{九、边值问题}
    \begin{itemize}
        \item 边值问题（BVP）：微分方程 + 两个或多个端点条件（如 $y(a)=\alpha, y(b)=\beta$）。
        \item 与初值问题（IVP）的区别：解的存在唯一性不保证。
        \item 线性边值问题的解的结构。
        \item Green函数：用于表示非齐次边值问题的解。
        \item 特征值问题：如 $y'' + \lambda y = 0, y(0)=y(L)=0$，求非零解存在的 $\lambda$。
        \item 特征值与特征函数。
        \item Sturm-Liouville问题：二阶线性方程的标准形式，具有正交特征函数系。
    \end{itemize}

    \item \textbf{十、首次积分}
    \begin{itemize}
        \item 首次积分（First Integral）：沿解曲线保持不变的函数 $I(x,y)$，满足 $\frac{d}{dt}I(x(t),y(t)) = 0$。
        \item 守恒量：物理系统中的能量、动量、角动量等。
        \item 机械能守恒：如单摆、二体问题中的总能量。
        \item 角动量守恒：中心力场中的 $r^2 \dot{\theta} = \text{const}$。
        \item 利用首次积分降阶：将高阶方程或系统降为低阶。
        \item Hamilton系统：$ \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}, \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q} $，$H$ 是首次积分。
    \end{itemize}

    \item \textbf{十一、一阶偏微分方程}
    \begin{itemize}
        \item 一阶PDE：$F(x,y,u,u_x,u_y) = 0$，其中 $u = u(x,y)$。
        \item 完全解、通解、奇解。
        \item 特征线法（Lagrange-Charpit方法）：将PDE化为ODE系统求解。
        \item Cauchy问题：给定初始曲线上的解值。
        \item 完全可积性条件。
        \item Hamilton-Jacobi方程简介：与常微分方程系统的联系。
    \end{itemize}

\end{enumerate}

\end{document}

